Probabilité

Définition

Probabilité sur ${\mathcal P}(\Omega)$ : application $\Bbb P:{\mathcal P}(\Omega)\to[0,1]$ vérifiant :

$\Bbb P(\Omega)=1$
si $\Omega$ est fini : $$\forall A,B\in{\mathcal P}(\Omega), A\cap B=\varnothing,\quad\Bbb P(A\cup B)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)$$
si $\Omega$ est infini : $\Bbb P$ est $\sigma$-additive : pour toute famille $(A_n)_{n\in I}$ d'événements $2$ à $2$ incompatibles, la série $\sum_{n\in I}\Bbb P(A_n)$ converge et $$\Bbb P\left({\bigcup_{n\in I}A_n}\right)=\sum_{n\in I}\Bbb P(A_n)$$

(Ensemble des parties d'un ensemble, Univers, Ensemble fini, Evènements incompatibles, Suite d'évènements - Famille d'évènements, Série convergente, //Fonction linéaire)
Définition :
Une probabilité sur $(\Omega,\mathcal F)$ est une application de $\mathcal F$ dans $[0,1]$ $\sigma$-additive et de masse totale $1$ $$P:\begin{align}\mathcal F&\longrightarrow[0,1]\\ A&\longmapsto P(A)\end{align}$$
I.e. Elle est telle que :

$P(\Omega)=1$
$P(\bigcup^{+\infty}_{n=1}A_n)=\sum^{+\infty}_{n=1} P(A_n)$ pour toute suite $(A_n)_{n\in{\Bbb N}^*}$ d'éléments de $\mathcal F$ 2 à 2 disjoints

(Sigma-additivité, Masse totale, Fonction)
Définition :
On dit que ${\mathcal P}$ est une probabilité ou une mesure de probabilités sur $(\Omega,{\mathcal F},{\mathcal P})$ si ${\mathcal P}(\Omega)=1$
(Mesure)
$\Bbb P(A)$ est la probabilité de $A$
Espace probabilisé

Propriétés

Probabilité de l'évènement certain

Propriété :
Toute probabilité $P$ sur $(\Omega,\mathcal F)$ vérifie : $$P({{\Omega}})={{1}}$$
(Evènement certain)

Probabilité de l'évènement impossible

Propriété :
Toute probabilité $P$ sur $(\Omega,\mathcal F)$ vérifie : $$P({{\varnothing}})={{0}}$$
(Evènement impossible)

Additivité

Propriété d'additivité :
Toute probabilité $P$ sur $(\Omega,\mathcal F)$ vérifie :
Si $A\cap B=\varnothing$, alors $$P({{A\cup B}})={{P(A)+P(B)}}$$
Propriété d'additivité :
Toute probabilité $P$ sur $(\Omega,\mathcal F)$ vérifie :
Si $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal F$ sont deux à deux disjoints, alors $$P\left({{\bigcup^n_{i=1}A_i}}\right)={{\sum^n_{i=1}P(A_i)}}$$
(Additivité - Fonction additive)

Complémentaire

Propriété :
Toute probabilité $P$ sur $(\Omega,\mathcal F)$ vérifie :$$\forall A\in\mathcal F,\qquad P({{A^C}})={{1-P(A)}}$$
(Négation, Complémentaire)

Croissance

Propriété de croissance :
Toute probabilité $P$ sur $(\Omega,\mathcal F)$ vérifie : $${{A\subset B}}\implies {{P(A)\leqslant P(B)}}$$

Probabilité d'une union d'événements

Formule du crible

Suites croissantes d'événements

Propriété :
Toute probabilité $P$ sur $(\Omega,\mathcal F)$ vérifie :
Pour toute suite croissante d'événements $B_1\subset B_2\subset\ldots$, $$P\left({{\bigcup^{+\infty}_{n=1}B_n}}\right)={{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } P(B_n)}}$$

Montrer que pour toute suite croissante d'événements $B_1\subset B_2\subset\ldots$, $$P\left({{\bigcup^{+\infty}_{n=1}B_n}}\right)={{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } P(B_n)}}$$

$$\begin{align}\bigcup^{+\infty}_{i=1} B_i=B_1\cup\bigcup^{+\infty}_{i=2}\underbrace{\left( B_i\cup B^C_{i-1}\right)}_{\text{disjoints}}\end{align}$$

$\sigma$-additivité
On peut donc utiliser la $\sigma$-additivité : $$P\left(\bigcup^{+\infty}_{i=1}B_i\right)=P(B_1)+\sum^{+\infty}_{i=2}P\left( B_i\cap B^C_{i-1}\right)$$

Passage à la limite

$$\begin{align} P\left(\bigcup^{+\infty}_{i=1}B_i\right)&=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } P(B_1)+\sum^{n}_{i=2}P\left( B_i\cap B^C_{i-1}\right)\\ &=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } P(\underbrace{B_1\cup(B_2\cap B_1^C)\cup\cdots\cup (B_n\cap B_{n-1}^C)}_{B_n})\end{align}$$

Suite décroissante d'événements

Propriété :
Toute probabilité $P$ sur $(\Omega,\mathcal F)$ vérifie :
Pour toute suite décroissante d'événements $C_1\supset C_1\supset\ldots$, $$P\left({{\bigcap^{+\infty}_{n=1}C_n}}\right)={{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } P(C_n)}}$$
La démonstration se fait de la même manière que pour les suites croissantes d'événements, en posant $C_i=B_i^C$

Inégalités

Propriété :
Toute probabilité $P$ sur $(\Omega,\mathcal F)$ vérifie :$${{P(A\cup B)}}\leqslant {{P(A)+P(B)}}$$
Propriété :
Toute probabilité $P$ sur $(\Omega,\mathcal F)$ vérifie : $$\begin{align} {{P\left(\bigcup^n_{i=1}A_i\right)}}&\leqslant{{\sum^n_{i=1}P(A_i)}}\\ {{P\left(\bigcup^{+\infty}_{i=1}A_i\right)}}&\leqslant{{\sum^{+\infty}_{i=1}P(A_i)}}\end{align}$$

Opérations sur les probabilités

Complémentaire
Inclusion
Formule du crible
Probabilité conditionnelle

Math'φsics

Formulaire de report